Les substitutions (ou morphismes itérés, ou D0L systems) permettent efficacement de décrire des structures auto-similaires en dimension 1; il est naturel d'essayer d'étendre ce formalisme en dimension plus grande. Divers mécanismes ont été proposés, mais ils sont en général plus restrictifs : la plupart des exemples remplacent un mot par un motif carré ou rectangulaire, ce qu'on peut voir comme une généralisation, en dimension supérieure, des substitutions de longueur constante, qui forment une sous-classe très particulière.

Nous proposons, dans cet exposé, un formalisme qui permet d'associer, à une substitution sur d lettres, une famille de substitutions généralisées ; l'extension d'ordre k agit sur les sommes finies pondérées de faces de dimension k des cubes unités ayant leurs sommets en des points entiers de l'espace R^d : à chaque face, on associe une réunion finie de faces. L'extension d'ordre 0 est simplement l'application linéaire associée a la substitution. On peut construire formellement (dans le cas des substitutions unimodulaires), pour l'extension d'ordre k, son dual, qui se réalise, par dualité de Poincaré, comme substitution generalisée en dimension n-k.

On donnera une définition formelle, en fournissant les motivations ; on montrera que ces objets combinatoires satisfont des relations naturelles de bord : l'image par la substitution d'ordre k-1 du bord d'un objet de dimension k est le bord de l'image de cet objet par la substitution d'ordre k (avec une relation de cobord similaire pour le dual).

On donnera ensuite diverses applications : représentations géometriques de substitutions Pisot unitaires, construction d'ensembles fractals autosimilaires, génération du plan discret approximant un plan irrationnel donné et algorithmes de fractions continues multidimensionnels.