(derniere mise en page : janvier 2001)
Sujet de Recherche
Structures ordonnées et dynamiques de Piles de Sables
Recherche
La partie principale de mes travaux concerne l'étude de
certains systèmes dynamiques discrets par le biais des
structures
ordonnées en général et des structures de treillis
en
particulier. L'approche que nous avons choisie est l'approche
latticielle et gr\^ace à laquelle nous avons tenté de
répondre aux questions
classiques dans l'étude de certaines sysèmes
dynamiques.
Parallèlement à cet axe principal, j'ai aussi
travaillé sur un problème combinatoire et un
problème géometrique. Le premier concerne
l'utilisation d'algorithmes de traitement de structures
ordonnées pour résoudre des problèmes de calcul
sur des objets combinatoires (les fonctions quasi-symétriques).
Le deuxième concerne l'étude structurelle et
algorithmique du problème de plongement de graphes dans des
espaces métriques.
Pour ce travail, j'ai été amenée à
collaborer avec Karell Bertet, Eric Goles, Claire Kenyon, Daniel Krob,
Matthieu Latapy, Roberto Mantaci, Jean-Marie Morvan et Michel Morvan.
Structures ordonnées et dynamiques de Piles de Sables
L'ensemble des partitions d'un entier a été largement
étudié, en particulier les ordres définis sur cet
ensemble. Une application de ces ordres est le problème du
modèle de pile de sable, qui a été
étudié dans plusieurs travaux de physique et de
combinatoire. Ce problème consiste en l'étude d'un
modèle de pile de sable, associé aux partitions d'un
entier donné, et des mouvements possibles pour transformer une
pile de sable en une autre.
Algorithmes d'ordres pour un problème en combinatoire
algébrique
L'algèbre des fonctions quasi-symetriques possède
certaines opérations dont une importante est le plethysme.
Malvenuto et Reutenauer ont prouvé que le plethysme de deux
fonctions quasi-rubans peut s'écrire comme une somme de
fonctions quasi-rubans. Avec Karell Bertet (LIAFA), Daniel Krob, Michel
Morvan et Jean-Yves Thibon (IGM, Marne-La-Vallée), nous avons
proposé un algorithme (que j'ai implené en Maple) pour
calculer le plethysme de deux fonctions quasi-monomiales et le
plethysme de deux fonctions quasi-rubans.
Une classe de graphes et le calcul de courbures
Une fa\c{c}on de calculerdes courbures d'un polyhèdre est de
modéliser les objets géométriques,
particulièrement les polyhèdres, comme des graphes.
Ensuite, après avoir calculé certaines valeurs sur ces
graphes, on peut retrouver les formules pour les courbures des
polyhèdres initiaux. Avec Michel Morvan, Jean-Marie Morvan et
Claire Kenyon, nous avons montré que tous les graphes
triangulaires sont immergeables dans un espace réel et nous
avons établi certaines propriétés des graphes
immergeables et nous sommes en train de caractériser d'autres
classes de
tels graphes.