Résumé : Soit A un
automate fini. On s'intéresse à la longueur minimale des mots
qui envoient tous les états sur un seul état (mots
synchronisants). J. Cerný a conjecturé que, s'il existe un
mot synchronisant dans A, alors il existe un tel mot de
longueur ≤ (n-1)2 où n est le nombre
d'états de A. Nous proposons la
généralisation suivante de cette conjecture: s'il existe un
mot de rang ≤ k dans A, il existe un tel mot de
longueur ≤ (n-k)2. Dans cet article, nous
considérons des automates dans lesquels une lettre induit une
permutation circulaire et nous montrons les résultats suivants:
(1) la seconde conjecture est vraie pour (n-1)/2 ≤ k ≤
n,
(2) si n est premier, la première conjecture est vraie,
(3) si n est premier et s'il existe une lettre de rang n - 1,
la seconde conjecture est vraie.
Abstract : Let A be a finite
automaton. We are concerned with the minimal length of the words that send
all states on a unique state (synchronizing words). J. Cerný has
conjectured that, if there exists a synchronizing word in A,
then there exists such a word with length ≤ (n-1)2
where n is the number of states of A. As a
generalization, we conjecture that, if there exists a word of rank
≤ k in A, there exists such a word with length
≤ (n-k)2. In this paper we deal only with automata
in which a letter induces a circular permutation and prove the following
results:
(1) the second conjecture is true for (n-1)/2 ≤ k ≤ n,
(2) if n is prime, the first conjecture is true,
(3) if n is prime and if there exists a letter of rank n - 1,
the second conjecture is true.