An extension of the structure theory of inverse semigroups to the non-regular case

Jean-Éric Pin et Stuart W. Margolis



Résumé : Cet article résume le travail des auteurs sur les semigroupes inversifs. Nous commençons par rappeler le théorème de structure pour les semigroupes inversifs, puis nous donnons une nouvelle description des monoïdes inversifs E-unitaires utilisant des groupes agissant sur une catégorie. Ce point de vue a déjà été utilisé avec succès en topologie algébrique et en théorie combinatoire des groupes et s'applique également aux monoïdes inversifs. Les monoïdes inversifs E-unitaires apparaissent comme des monoïdes inversifs "sans singularité", au sens où leurs stabilisateurs ont de bonnes propriétés. Il apparait en fait que, contrairement à ce qui se passe en général avec les semigroupes réguliers, cette approche s'applique aussi au cas non régulier. Nous montrons ainsi que les semigroupes E-denses généralisent les semigroupes inversifs, les semigroupes inversifs E-unitaires et les extensions de groupes par des demi-treillis généralisent les extensions régulières. Muni de ce dictionnaire, nous étendons au cas non régulier la plupart des résultats connus dans le cas régulier. Il reste toutefois une conjecture non résolue pour laquelle nous donnons diverses formulations équivalentes et des résultats partiels. Nous donnons ensuite deux nouvelles descriptions du monoïde inversif libre sur un ensemble A. La seconde description montre que le monoïde inversif libre peut être plongé dans le produit de Schützenberger de deux groupes libres. Finalement, nous présentons les résultats de théorie des langages qui ont motivé en partie ces travaux. Nous donnons plusieurs caractérisations de la variété de langages correspondant à la variété de monoïdes finis engendrée par les monoïdes inversifs finis et nous établissons également un lien avec la théorie des codes à longueur variable.

Abstract : This paper summarizes the work of the authors about inverse semigorups. We first resume the structure theorem for inverse semigroups and we give a new description of E-unitary inverse monoids involving groups acting on a category. This point of view was already used with success in algebraic topology and in combinatorial group theory and applies as well to inverse monoids. Now E-unitary inverse monoids appear as inverse monoids "without singularities", in the sense that the stabilizers are nice. It turns out that, contrary to many results on regular semigroups, this approach also works in the nonregular case. We show that E-dense semigroups generalize inverse semigroups, E-unitary inverse semigroups and extensions of groups by semilattices generalize regular extensions. With this dictionary in hand we extend most known results to the nonregular case. However there is still a conjecture in this theory for which we give various equivalent statements and partial resuts. Next we give two new descriptions of the free inverse monoid on a set A. The second one shows that the free inverse monoid is embedded in the Schützenberger product of two free groups. Finally, we survey some results of language theory that were one of the original motivations of the authors. We give various descriptions of the variety of languages corresponding to the variety of finite monoids generated by all finite inverse monoids, and we also establish a bridge with the theory of variable-length codes.



Valid HTML 4.01!