Résumé : Le résultat principal de cet article
affirme qu'un langage reconnaissable est ouvert dans la topologie de Hall
si et seulement si il appartient à la fermeture polynomiale
C des langages à groupe. Un langage à groupe
est un langage reconnaissable reconnu par un automate de permutations. La
fermeture polynomiale d'une classe de langages L est
l'ensemble des langages qui sont unions finies de langages de la forme
L0a1L1 ...
anLn, où les ai sont des
lettres et les Li sont des éléments de
L . La topologie de Hall est la topologie dans laquelle les
ouverts sont union (finie ou infinie) de langages à groupe. On donne
aussi une description combinatoire de ces langages ainsi qu'une
caractérisation syntactique. Soit L un langage reconnaissable
de A*, soit M son monoïde syntactique et soit
P son image syntactique. Alors L appartient à
C si et seulement si, pour tout s, t dans
M et pour tout idempotent e de M, st dans
P entraine set dans P. Finalement, on donne une
caractérisation sur l'automate minimal de L qui conduit
à un algorithme en temps polynomial pour tester, étant
donné un automate fini deterministe, s'il reconnaît un langage
de C.
Abstract : This main result of this paper states that a recognizable
language is open in the Hall topology if and only if it belongs to the
polynomial closure C of the group languages. A group
language is a recognizable language accepted by a permutation automaton.
The polynomial closure of a class of languages L is the set
of languages that are finite unions of languages of the form
L0a1L1 ...
anLn, where the ai's are
letters and the Li's are elements of L. The
Hall topology is the topology in which the open sets are finite or infinite
unions of group languages. We also give a combinatorial description of
these languages and a syntactic characterization. Let L be a
recognizable set of A*, let M be its syntactic
monoid and let P be its syntactic image. Then L belongs to
C if and only if, for every s, t in M
and for every idempotent e of M, st in P
implies set in P. Finally, we give a characterization on the
minimal automaton of L that leads to a polynomial time algorithm to
check, given a finite deterministic automaton, whether it recognizes of
C.