Presentations of the Schützenberger product of n groups

Gracinda M. S. Gomes, Jean-Éric Pin et Helena Sezinando



Résumé : Dans cet article, on considère d'abord des matrices triangulaires supérieures de taille n × n à coefficients dans un semi-anneau donné k. Les matrices de ce type dont les coefficients diagonaux sont inversibles forment un monoide Bn(k). Nous montrons que Bn(k) se décompose comme produit semi-direct d'un monoïde de matrices unitriangulaires Un(k) par le groupe des matrices diagonales. Lorsque ce semi-anneau est un corps, Bn(k) est en fait un groupe et on retrouve un cas bien connu de la théorie des groupes et des algèbres de Lie. Poursuivant l'analogie avec le cas des groupes, nous montrons que Un(k) est le produit ordonné (en tant que parties) de n(n-1)/2 monoïdes commutatifs (les sous-groupes de racines dans le cas des groupes). Finalement, nous donnons deux présentations différentes du produit de Schützenberger product de n groups G1, ..., Gn, à partir d'une présention de monoïde <Ai | Ri> de chacun des groupes Gi. On obtient ainsi comme cas particulier des présentations du monoïde de toutes les matrices booléennes unitriangulaires de taille n × n.

Abstract: In this paper, we first consider n × n upper-triangular matrices with entries in a given semiring k. Matrices of this form with invertible diagonal entries form a monoid Bn(k). We show that Bn(k) splits as a semidirect product of the monoid of unitriangular matrices Un(k) by the group of diagonal matrices. When the semiring is a field, Bn(k) is actually a group and we recover a well-known result from the theory of groups and Lie algebras. Pursuing the analogy with the group case, we show that Un(k) is the ordered set product of n(n-1)/2 commutative monoids (the root subgroups in the group case). Finally, we give two different presentations of the Schützenberger product of n groups G1, ..., Gn, given a monoid presentation <Ai | Ri> of each group Gi. We also obtain as a special case presentations for the monoid of all n × n unitriangular Boolean matrices.

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