Presentations of the
Schützenberger product of n groups
Gracinda M. S. Gomes, Jean-Éric Pin et Helena Sezinando
Résumé : Dans cet article, on considère d'abord
des matrices triangulaires supérieures de taille n × n
à coefficients dans un semi-anneau donné k. Les
matrices de ce type dont les coefficients diagonaux sont inversibles
forment un monoide Bn(k). Nous montrons que
Bn(k) se
décompose comme produit semi-direct d'un monoïde de matrices
unitriangulaires Un(k)
par le groupe des matrices diagonales. Lorsque ce semi-anneau est un corps,
Bn(k) est en fait un
groupe et on retrouve un cas bien connu de la théorie des groupes
et des algèbres de Lie. Poursuivant l'analogie avec le cas des
groupes, nous montrons que Un(k) est le produit ordonné (en
tant que parties) de n(n-1)/2 monoïdes commutatifs (les
sous-groupes de racines dans le cas des groupes). Finalement, nous donnons
deux présentations différentes du produit de
Schützenberger product de n groups G1, ..., Gn, à partir d'une présention de
monoïde <Ai |
Ri> de chacun des groupes
Gi. On obtient ainsi comme cas
particulier des présentations du monoïde de toutes les
matrices booléennes unitriangulaires de taille n × n.
Abstract: In this paper, we first consider n × n
upper-triangular matrices with entries in a given semiring k.
Matrices of this form with invertible diagonal entries form a monoid
Bn(k). We show that
Bn(k) splits as a
semidirect product of the monoid of unitriangular matrices
Un(k) by the group of
diagonal matrices. When the semiring is a field, Bn(k) is actually a group and we recover a
well-known result from the theory of groups and Lie algebras. Pursuing the
analogy with the group case, we show that Un(k) is the ordered set product of
n(n-1)/2 commutative monoids (the root subgroups in the group
case). Finally, we give two different presentations of the Schützenberger
product of n groups G1, ...,
Gn, given a monoid
presentation <Ai |
Ri> of each group
Gi. We also obtain as a
special case presentations for the monoid of all n × n
unitriangular Boolean matrices.