Product of group languages

Stuart W. Margolis et Jean-Éric Pin

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Résumé : Le but de cet article est d'étudier la hiérarchie de concaténation dont le niveau 0 est constituée par les langages à groupe. La réunion de tous les niveaux de cette hiérarchie est la fermeture des langages à groupe pour le produit et les opérations booléennes. Notre premier résultat montre que cette union est une variété de langages décidable. Le reste de l'article est consacré à l'étude du niveau 1. Cette variété de langages, et la variété de monoïdes correspondante ◊G, apparaissent dans différents contextes. Tout d'abord, ◊G est exactement la variété J * G engendrée par tous les produits semi-directs d'un monoïde J-trivial par un groupe. Ensuite ◊G est aussi la variété engendrée par les monoïdes des parties d'un groupe. Finalement, les langages de niveau 1 apparaissent dans l'étude de la topologie des groupes finis du monoïde libre. Un problème important est de savoir si cette variété est décidable. La discussion de ce problème a motivé l'introduction de la variété BG, qui est la variété de tous les monoïdes M tels que, pour tout idempotent e, f de M, efe = e entraîne e = f. Plusieurs définitions équivalentes sont proposées dans l'article. En particulier, nous montrons qu'un monoïde M est dans BG si et seulement si le sous-monoïde engendré par tous les idempotents de M est dans la variété J. On montre aussi que BG est engendré par tous les monoïdes qui sont, en un certain sens, extensions d'un groupe par un monoïde de J. Finalement, ◊G est contenu dans BG mais nous de savons pas si cette inclusion est stricte ou non.
[En fait, l'égalité ◊G = BG a été établie en 1991 par Henckell et Rhodes]

Abstract : The aim of this paper is to study the concatenation hierarchy whose level 0 consists of all group languages. The union of all the levels of this hierarchy is the closure of group languages under product and boolean operations. Our first result states that this union is a decidable variety of languages. The rest of the paper is devoted to the study of level 1. This variety of languages, and the corresponding variety of monoids ◊G, appear in many different contexts. First, ◊G is exactly the variety J * G generated by all semidirect products of a J-trivial monoid by a group. Second ◊G is also the variety generated by powermonoids of groups. Finally, languages of level 1 arise in the study of the finite group topology for the free monoid. An important problem is to know whether this variety is decidable. The discussion of this problem motivated the introduction of the variety of monoids BG, which is the variety of all monoids M such that, for every idempotent e, f of M, efe = e implies e = f. Several equivalent definitions are given in the paper. In particular, we show that a monoid M is in BG if and only if the submonoid generated by all idempotents of M belongs to J. We also prove that BG is generated by all monoids that are, in some sense, extensions of a group by a monoid of J. Finally, ◊G is contained in BG but we don't know if this inclusion is strict or not.
[Actually, the equality ◊G = BG has been established by Henckell and Rhodes in 1991]

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