Semidirect products of ordered semigroups

Jean-Éric Pin et Pascal Weil


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Résumé : Le produit semidirect est un outil essentiel de l'étude des semigroupes finis, et il a été utilisé dans la littérature pour donner des théorèmes de structure et de classification, en particulier dans le contexte de l'étude des variétés de semigroupes finis. Cette étude a des connexions profondes avec la classification des langages reconnaissables.
Notre but dans cet article est de développer un corps de doctrine autour de la notion de produit semidirect des semigroupes ordonnés (finis). Cette idée est en partie inspirée par l'article précurseur de Straubing et Thérien de 1985, à la fin duquel est brièvement présentée une suggestion de recherche dans cette direction, mais cet article semble être resté une tentative isolée.
Les résultats de cet article peuvent être considérés comme la contrepartie ordonnée de certains résultats classiques de la théorie des semigroupes. Nous traitons en particulier deux théorèmes de décomposition qui ont été particulièrement recherchés dans les années 1980, jusqu'à leur démonstration suite aux brillants travaux de Ash. Le premier de ces résultats concerne la variété engendrée par les monoïdes inversifs, et le second la variété de monoïdes dits blocs-groupes.
Les applications de ces résultats à la théorie des langages figurent dans l'article The wreath product principle for ordered semigroups.

Abstract : Semidirect product is a powerful tool for studying finite semigroups, and it has been used in the literature to give structure theorems and classification theorems, especially in the context of the lattice of varieties of finite semigroups. This study in turn has deep connections with the classification of recognizable languages.
Our aim in this paper is to develop a body of results on the semidirect product of (finite) ordered semigroups, that can be used like the more classical results on finite unordered structures. A pioneering --- and inspiring --- work in this direction is briefly sketched at the end of the paper by Straubing and Thérien (1985), but it long looked like an isolated attempt.
The main results of the paper can be considered as the ordered counterparts of certain classical results on semigroups. We cover in particular two decomposition theorems which were much discussed in the literature throughout the 1980s, until they were finally proved by brilliant results of Ash. The first of these results deals with the variety generated by inverse monoids, and the second one with the variety of so-called block-groups.
Applications of the results of the present paper to language theory are deferred to the article The wreath product principle for ordered semigroups.

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