Résumé : Le produit semidirect est un outil essentiel
de l'étude des semigroupes finis, et il a été
utilisé dans la littérature pour donner des
théorèmes de structure et de classification, en particulier
dans le contexte de l'étude des variétés de
semigroupes finis. Cette étude a des connexions profondes avec la
classification des langages reconnaissables.
Notre but dans cet article est de développer un corps de doctrine
autour de la notion de produit semidirect des semigroupes
ordonnés (finis). Cette idée est en partie
inspirée par l'article précurseur de Straubing et
Thérien de 1985, à la fin duquel est brièvement
présentée une suggestion de recherche dans cette direction,
mais cet article semble être resté une tentative
isolée.
Les résultats de cet article peuvent être
considérés comme la contrepartie ordonnée de certains
résultats classiques de la théorie des semigroupes. Nous
traitons en particulier deux théorèmes de
décomposition qui ont été particulièrement
recherchés dans les années 1980, jusqu'à leur
démonstration suite aux brillants travaux de Ash. Le premier de ces
résultats concerne la variété engendrée par les
monoïdes inversifs, et le second la variété de
monoïdes dits blocs-groupes.
Les applications de ces résultats à la théorie des
langages figurent dans l'article The
wreath product principle for ordered semigroups.
Abstract : Semidirect product is a powerful tool for studying finite
semigroups, and it has been used in the literature to give structure
theorems and classification theorems, especially in the context of the
lattice of varieties of finite semigroups. This study in turn has deep
connections with the classification of recognizable languages.
Our aim in this paper is to develop a body of results on the semidirect
product of (finite) ordered semigroups, that can be used like the
more classical results on finite unordered structures. A pioneering ---
and inspiring --- work in this direction is briefly sketched at the end of
the paper by Straubing and Thérien (1985), but it long looked like
an isolated attempt.
The main results of the paper can be considered as the ordered counterparts
of certain classical results on semigroups. We cover in particular two
decomposition theorems which were much discussed in the literature
throughout the 1980s, until they were finally proved by brilliant results
of Ash. The first of these results deals with the variety generated by
inverse monoids, and the second one with the variety of so-called
block-groups.
Applications of the results of the present paper to language theory are
deferred to the article The wreath
product principle for ordered semigroups.